Вычисление объема тела, вычисление длин дуг

Вводится понятие производной высшего порядка, определяются правила вычисления производных суммы и произведения функций. Даётся определение дифференциала высшего порядка и выводится его связь с производными.

Механический и геометрический смысл производной.

 Уравнения нормали и касательной к графику функции.

Как было показано в § 1, мгновенная скорость точки есть

 v=.

Но это означает, что скорость v есть производная от пройденного пути S по времени t,

 v=.  Таким образом, если функция y=f(x) описывает закон прямолинейного движения материальной точки, где y есть путь, пройденный материальной точкой от момента начала движения до момента времени x, то производная (x) определяет мгновенную скорость точки в момент времени x. В этом и заключается механический смысл производной.

В § 1 был найден также угловой коэффициент касательной к графику функции y=f(x) k=tg α= . Это соотношение означает, что угловой коэффициент касательной равен производной (x). Говоря более строго, производная (x) функции y=f(x), вычисленная при значении аргумента, равном x, равна угловому коэффициенту касательной к графику этой функции в точке, абсцисса которой равна x. В этом состоит геометрический смысл производной. Математика интегралы при вычислении обьема и площади

Пусть при x=x0 функция y=f(x) принимает значение y0= f(x0), и график этой функции имеет касательную в точке с координатами (x0;y0). Тогда угловой коэффициент касательной

 k = (x0). Используя известное из курса аналитической геометрии уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении ( y-y0 = k(x-x0) ), запишем уравнение касательной:

 .

Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой. Так как нормаль перпендикулярна касательной, то её угловой коэффициент kнорм связан с угловым коэффициентом касательной k известным из аналитической геометрии соотношением: kнорм = ─,  т.е. для нормали, проходящей через точку с координатами (x0;y0), kнорм = ─. Следовательно, уравнение этой нормали имеет вид:

  (при условии, что ).

В любом курсе математического анализа доказывается, что производная по направлению, определяемая формулой (2), может быть представлена в виде

 . (3)

Заметим, что частная производная по x тоже является производной по направлению. Это направление определяется равенствами: cosa = 1; sina = 0. Аналогично частная производная по y — это производная по направлению, которое можно задать условиями cosa = 0; sina = 1.

Прежде, чем анализировать формулу (3), приведем некоторые понятия и факты из курса векторной алгебры. Пусть в плоскости с системой координат XOY задан направленный отрезок  или (что то же самое) вектор, причем точка M0(x0,y0) является его начальной точкой, а M1(x1,y1) ‑ конечной точкой. Определим координату вектора по оси OX как число, равное x1 ‑ x0, а координату по оси , как число, равное y1 ‑ y0. Если задать упорядоченную пару любых чисел a и b, то эти числа можно рассматривать как координаты некоторого вектора   в плоскости XOY, причем длина этого вектора определена формулой

 ,

а тангенс угла наклона g вектора к оси OX определяется из формулы tgg = b/a (отметим, что зная величину tgg , а также знак любого из чисел a и b, мы можем определить угол g с точностью до 2p ).

Представление вектора в виде пары его координат будем записывать в виде  или . Такое представление имеет одну характерную особенность: оно не определяет местоположение вектора на плоскости XOY. Чтобы его определить, нужно наряду с координатами вектора задавать, например, координаты его начальной точки или, как её можно назвать, точки приложения вектора.

Если заданы два вектора:  и , то скалярным произве­дением  этих векторов называется число  (j‑ угол между векторами).

В любом курсе векторной алгебры доказывается, что скалярное произведение векторов   и  равно сумме произведений одноименных координат этих векторов:

  = a1b1 + a2b2. (4)

Пусть в некоторой области G плоскости XOY задана функция z = f(x,y), имеющая непрерывные частные производные по обоим аргументам. Градиентом или вектором-градиентом  функции f(x,y) в точке (x,y) Î G называется вектор, который задается формулой

 .

Выводится формула Тейлора для многочлена степени n, дается определение формулы Маклорена для многочлена. Вводится понятия формулы Тейлора для функции и вычисляется остаточный член в форме Лагранжа. Рассматривается остаточный член в форме Пеано
Механический и геометрический смысл производной