Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы

Для того чтобы доказать, что данный криволинейный интеграл II рода не зависит от пути интегрирования необходимо показать, что этот интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю.

Тригонометрические и гиперболические подстановки

Пример Найти интеграл .

Решение. Используем здесь (для разнообразия) гиперболическую подстановку: . Так как , то интеграл записывается в виде Понизим степень подынтегральной функции с помощью формулы двойного угла . Тогда

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Сначала выделим полный квадрат в выражении под корнем. Теперь, используя подстановку и соотношение , находим интеграл Интеграл вычислен . Окончательный ответ равен

Прежде всего напомним два принципа, из которых мы исходим при определении объёма тела:

если разбить тело на части, то его объём будет равен сумме объёмов всех частей;

 объём прямого цилиндра, т.е. цилиндрического тела, ограниченного плоскостью, параллельной плоскости Oxy, равен площади основания, умноженной на высоту тела.

Пусть есть уравнение поверхности, ограничивающей цилиндрическое тело. Будем считать функцию непрерывной в области D и сначала предположим, что поверхность целиком лежит над плоскостью Oxy, т.е. что всюду в области D.

 

 Рис. 2

Обозначим искомый объем цилиндрического тела через V, Разобьем основание цилиндрического тела - область D - на неко­торое число n областей произвольной формы; будем называть их частич­ными областями. Пронумеровав частичные области в каком-нибудь порядке, обозначим их через  а их площади - через . Через границу каждой частичной области проведем цилинд­рическую поверхность с образующей, параллельной оси Oz. Эти цилиндри­ческие поверхности разрежут поверх­ность на n кусков, соответствующих n частичным областям. Таким образом, цилиндрическое тело окажется разби­тым на n частичных цилиндрических тел (см.рис.2). Выберем в каждой частичной области  произвольную точку  и заменим соответствующее частичное цилиндрическое тело прямым цилинд­ром с тем же основанием и высотой, равной . В ре­зультате получим n-ступенчатое тело, объем которого равен

Справедливо и обратное утверждение: если криволинейный интеграл II рода по любому замкнутому контуру равен нулю, то этот криволинейный интеграл не зависит от формы кривой, соединяющей две любые точки, а зависит только от положения этих точек.
Физические приложения тройных интегралов