Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Традициями эпохи Возрождения
Карта Западной Европы
Лоренцо Бернини
Микеланджело да Караваджо
Призвание апостола Матфея
Обращение Савла
Положение во гроб
Успении Богоматери
Эль Греко

Погребение графа Оргаса

Портрет аристократа
Апостолы Пётр и Павел
Сошествии Святого Духа
Вид Толедо
Диего Веласкес
Менины
Пряхи
Венера перед зеркалом
Сдача Бреды
Аристократические портреты
«Завтрак» и серия «Шуты и карлики
Хусепе Рибера

Исаак, благословляющий Иакова

Хромоножка
Святая Инесса
Нищие философы
Мученичество Святого Варфоломея
Питер Пауэл Рубенс

Жимолостная беседка

Кермесса
Серии картин «Жизнь Марии Медичи»
Портрет камеристки инфанты Изабеллы
Елена Фоурмен и «Шубка»
Возчики камней
Автопортрет
Портрет Изабеллы Брандт
Большое количество заказов
Охота на гиппопотамов и крокодилов
«Похищение дочерей Левкиппа» и «Битва греков с амазонками»
Водружение креста
Рембрандт Ван Рейн

«Анатомия доктора Тулпа»

«Возвращение блудного сына»
«Еврейская невеста»
«Автопортрет»
«Старик в красном» и «Портрет Титуса»
«Портрет Хендрикьё Стоффелс»
«Заговор Юлия Цивилиса»
«Три дерева»
«Выступление стрелковой роты капитана Франса Баннинга Кока»
«Даная»
«Автопортрет с Саскией на коленях»
«Портрет Яна Сикса»
Никола Пуссен и живопись
Классицизма

«Царство Флоры»

«Пейзаж с Полифемом»
«Аркадские пастухи»
«Танкред и Эрминия»
Искусство Европы XVIII века
Художественная жизнь Европы
Архитектура XVIII столетия
Рококо
Малый Трианон
Церквь Святой Женевьевы
Эпоха неоклассицизма
Клод Никола Леду
Жан Батист Пигаль
Галантные празднества
Парижский Лувр
Фарфоровые изделия
Филиппе Ювара
Методы математической
статистики
Искусство России XVIII века
Архитектурные проекты
Москвы 20 годов
Архитектурная история Москвы
Советы для радиолюбителя
Авангардное искусство
Ядерные испытания на
архипелаге Новая Земля
Безопасность в
компьютерных сетях
Аппаратное обеспечение
компьютера
Установка системы
Microsoft Windows 2003
Вычисление производной
и пределов
Вычисление площадей в
декартовых координатах
Вычисление площадей фигур
при параметрическом задании
границы
Вычисление объема тела,
вычисление длин дуг
Векторная и линейная алгебра
Монтаж радиоэлементов
и микросхем

Производная Основные понятия Пусть дана функция y = f(x). Рассмотрим два значения ее аргумента: исходное х0 и новое х. Разности = х-х0 и D y = f(x)-f(x0) = y-y0 называются соответственно приращением аргумента и приращением функции в точке х0. Теорема ( о связи дифференцируемости и непрерывности). Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х0, то она непрерывна в этой точке.

Вычисление производной Формулы вычисления производной некоторых элементарных функций получены в курсе средней школы

Производная обратной функции Теорема. Пусть функция х = f(y) монотонна и дифференцируема в некотором интервале (a, b) и имеет в точке у этого интервала производную f'(y), не равную нулю. Примеры. Найти производную функции.

Производная степенной функции с любым действительным показателем Известно, что (xn)' = nxn-1 для натурального n. Пусть теперь n любое дейст­вительное число и х>0. Справедливо тождество xn = enlnx. Тогда у = enlnx – сложная функция и ее производная вычисляется следующим образом: y' = (enlnx)' = enlnx(nlnx)' = enlnx =  xn = nxn-1. Интегральное исчисление функции одной переменной

Производные высших порядков Предположим, что функция y = f(x) дифференцируема в некотором интер­вале (а, в). Тогда ее производная f'(x) в этом интервале является функцией х. Пусть эта функция также имеет производную в (а, в). Эта производная называется второй производной или производной второго порядка функции y = f(x)и обозначается y'' или f''(x).

Дифференцирование функций, заданных параметрически Если функция y = f(x), определенная на некотором интервале (а,в), такая, что уравнение (1) при подстановке в него вместо у выражения f(x) обращается в тождество, то говорят, что уравнение (1) задает функцию y = f(x) неявно или что функция y = f(x) есть неявная функция. Дифференциальные уравнения

Дифференцирование функций, заданных неявно Если функция y = f(x), определенная на некотором интервале (а,в), такая, что уравнение (1) при подстановке в него вместо у выражения f(x) обращается в тождество, то говорят, что уравнение (1) задает функцию y = f(x) неявно или что функция y = f(x) есть неявная функция. Пример

Логарифмическое дифференцирование Функция вида y = [u(x)]v(x) называется степенно – показательной. Для вычисления ее производной (при условии, что у' существует), нужно прологарифмировать функцию по любому основанию (обычно по основанию е). Затем нужно вычислить производную полученной неявной функции.

Дифференциал функции Рассмотрим функцию у = х3. Дадим некоторому значению аргумента х ¹ 0 приращение ¹ 0, тогда функция получит соответствующее приращение Dу. Вычислим его.

Теорема о связи между существованием производной и существованием дифференциала. Для того, чтобы функция y = f(x) имела в точке х дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную.

Свойства дифференциала Это свойство дифференциала сложной функции называется инвариантностью формы дифференциала.

Дифференциалы высших порядков Дифференциал от дифференциала данной функции y = f(x) называется ее вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка и обозначается символом d2у или d2 f(x). Таким образом, по определению d2у = d().

Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях

Теорема Ферма Пусть функция y = f(x) определена в интервале (а, в) и принимает в точке с этого интервала наибольшее или наименьшее на (а, в) значение. Если существует f'(с), то f'(с) = 0.

Теорема Лагранжа  Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в интервале (a, b). Тогда существует хотя бы одна точка сÎ(a, b), для которой выполняется условие: .

Теорема Коши

Теорема Лопиталя (Правило Лопиталя) Пусть - функции, непрерывные на [а, b], дифференцируемые в(а, b);  при всех хb) и f(а) = (а) = 0. Примеры на применение правила Лопиталя.

Применение производной к исследованию функций

Интервалы монотонности. Экстремумы Функция у = f(х) называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке, если для любых значений x2>x1 этого промежутка выполняется условие f(x2) > f(x1)(f(x2) < f(x1)) . Теорема ( достаточное условие монотонности функции). Если непрерывная на отрезке [а, b] функция у = f(х) в каждой точке интервала (а, b) имеет положи­тельную (отрицательную) производную, то эта функция возрастает (убывает) на отрезке [а, b].

Выпуклость и вогнутость графика функции

Точки перегиба График дифференцируемой функции у = f(x) называется выпуклым (вогнутым) в интервале (а,b), если он расположен ниже (выше) любой своей касательной на этом интервале. Теорема ( достаточный признак существования точки перегиба). Если вторая производная непрерывной функции меняет знак при переходе аргумента через точку х0, то точка (х0; f(х0)) является точкой перегиба графика функции. Асимптотой графика функции у = f(x) называется прямая, расстояние от которой до текущей точки графика функции стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат.

План исследования функции и построение графика

Пример . Исследовать функцию y= x-2arctgx и построить ее график.

Пример . Исследовать функцию и построить ее график.

Пределы и непрерывность функции

Предел функции Совокупность значений некоторых величин, как правило, лишенных физического содержания, представляет собой некоторые числовые множества. Будем обозначать множества большими буквами латинского алфавита: А,В,..,Х,У. Окрестностью О (а) точки а называется любой интервал a < x < b, окружающий эту точку, из которого, как правило, удалена сама точка а.

Пример. Доказать, что  (2х +1) = 7.

Пример . Функция у = sin х ограничена на всей числовой оси, так как . Функция  не ограничена на множестве, содержащем точку х = 0.

Односторонние пределы Любой интервал (a, а), правым концом которого является точка а, называется левой окрестностью точки а.  Аналогично любой интервал (a, b), левым концом которого является точка а, называется ее правой окрестностью.

Пример. Функция f(x) = x2 является бесконечно малой при x®0, а  g (x) = бесконечно большой (при x ¹ 0).

  Замечание. Если , то в силу определения предела функции получаем: ïf(x)-Aï<e при xÎ O(а, б), что означает, что f(x)A является бесконечно малой при x® a. Тогда, полагая f(x)-A=a(x), имеем f(x) = A + a(x), где a(x) ® 0 при x ® a. Рассмотрим на примерах основные приёмы раскрытия неопределенностей

Пример . Найти Пример. Найти пределы: , ,

Некоторые признаки существования предела функции Не всякая функция имеет предел, даже будучи ограниченной. Например, sin x при x ® ¥ предела не имеет, хотя £ 1.  Укажем два признака существования предела функции.

Первый и второй замечательные пределы

Теорема. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице, то есть   .  Этот предел называют первым замечательным пределом. С его помощью вычисляют пределы выражений, содержащих тригонометрические функции.

Непрерывность функции Функция f(x), определенная на множестве Х, называется непрерывной в точке , если

Пример. Функция   является непрерывной справа в точке х = 0, слева же от этой точки она вообще не определена.

Точка разрыва функции, не являющаяся точкой разрыва первого рода или точкой устранимого разрыва, является точкой разрыва второго рода.

  Все элементарные функции непрерывны в области определения Так что  всюду непрерывна, так как всюду определена, а, например, функция  разрывна в точке .

Теорема Больцано-Коши об обращении функции в нуль.

Архитектура и скульптура Европы Декоративно-прикладное искусство Искусство России XVIII века