Задачи для самостоятельного решения

Методы математической статистики

Классическое определение вероятности.

Вычислять вероятности P(wi ) можно, используя априорный подход, который заключается в анализе специфических условий данного эксперимента (до проведения самого эксперимента).

Возможна ситуация, когда пространство элементарных исходов состоит из конечного числа N элементарных исходов, причем случайный эксперимент таков, что вероятности осуществления каждого из этих N элементарных исходов представляются равными. Примеры таких случайных экспериментов: подбрасывание симметричной монеты, бросание правильной игральной кости, случайное извлечение игральной карты из перетасованной колоды. В силу введенной аксиомы вероятность каждого элементарного исхода в этом случае равна . Из этого следует, что если событие А содержит NA элементарных исходов, то в соответствии с определением (*)

 

В данном классе ситуаций вероятность события определяется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех возможных исходов. Тройной интеграл Определение тройного интеграла и условия его существования Кубируемое тело и его объем Понятие объема тела произвольной формы вводится аналогично понятию площади плоской фигуры. Давая определение площади плоской фигуры, мы опирались на понятие площади многоугольника. При введении понятия объема тела за основу берется понятие объема многогранника (его считаем известным).

Пример. Из набора, содержащего 10 одинаковых на вид электроламп, среди которых 4 бракованных, случайным образом выбирается 5 ламп. Какова вероятность, что среди выбранных ламп будут 2 бракованные?

Прежде всего, отметим, что выбор любой пятерки ламп имеет одну и ту же вероятность. Всего существует  способов составить такую пятерку, то есть случайный эксперимент в данном случае имеет  равновероятных исходов.

Сколько из этих исходов удовлетворяют условию "в пятерке две бракованные лампы", то есть, сколько исходов принадлежат интересующему нас событию?

Каждую интересующую нас пятерку можно составить так: выбрать две бракованные лампы, что можно сделать числом способов, равным . Каждая пара бракованных ламп может встретиться столько раз, сколькими способами ее можно дополнить тремя не бракованными лампами, то есть  раз. Получается, что число пятерок, содержащих две бракованные лампы, равно ×.

Отсюда, обозначив искомую вероятность через P, получаем:

 

Вероятностное пространство Случай конечного или счетного числа исходов.

Для построения полной и законченной теории случайного эксперимента или теории вероятностей, помимо введенных исходных понятий случайного эксперимента, элементарного исхода, пространства элементарных исходов, события, введем аксиому (пока для случая конечного или счетного пространства элементарных исходов).

Задачи с решениями.

Задача I .Карты из колоды в 32 листа розданы трём игрокам: А, В и С. Игрок А получил 12 карт, среди которых 5 карт червовой масти: туз, король, валет, десятка и девятка. Остальные игроки получили по 10 карт. Найти вероятность того, что у игрока А или у игрока В на руках три оставшихся карты червовой масти: дама, восьмёрка и семёрка.

Задача II. На производственном совещании, на котором присутствовали 5 участников, было внесено 6 предложений по повышению эффективности работы предприятия. Найти вероятность того, что каждый из участников внёс, по крайней мере, одно предложение.

Задача III. Колода карт в 32 листа раздана 4-м игрокам, каждому по 8 карт. Найти вероятность того, что все четыре туза достались одному игроку.

Задача IV. 10 букв разрезной азбуки: А,А,А,Е,И,К,М,М,Т,Т произвольным образом выкладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово МАТЕМАТИКА?

Задача V. Брошено 10 игральных костей. Предполагается, что все комби­нации выпавших очков равновероятны. Найти вероятность того, что выпала хотя бы одна шестёрка.

Задача VI. Бросается n игральных костей. Найти вероятность того, что на всех костях выпало одно и то же количество очков.

Можно выделить два типа моделей описания объектов окружающего мира (в частности, экономиче-ских). Детерминированные модели предполагают жесткие функциональные связи между переменными моде-ли (Пример - при равноускоренном движении тела из состояния покоя пройденный путь пропорционален квад-рату времени движения, или спрос обратно пропорционален цене товара). Стохастические допускают наличие случайных воздействий на исследуемые показатели и используют для их описания методы теории вероятностей и математической статистики.
Классическое определение вероятности