Закон распределения случайной величины

Методы математической статистики

Случайная величина, распределенная по закону Бернулли.

При двух заданных числах:

1) n – количество повторных независимых испытаний,

2) p – вероятность события A в одном испытании

можно по формуле Бернулли подсчитать значение вероятности каждого целого числа x , где x – число появлений события A в n испытаниях (частота появления события A).

Таким образом, каждому исходу случайного эксперимента, заключающегося в серии из n испытаний по схеме Бернулли, соответствует определенное число x, рассматриваемое как случайная величина, принимающая значения 0, 1, 2,...n. Соответствие между значениями x и их вероятностями (рассчитанными по формуле Бернулли) называется законом распределения Бернулли. Строгое определение случайной величины и закона распределения будет дано позже. Убедиться в потенциальности поля вектора

Можно построить график закона распределения Бернулли (зависимости Рп(х) для конкретных значений n и p. Так как аргумент x принимает лишь целые значения, график представляется в виде точек на плоскости (х,Рп(х)). Для наглядности точки соединяются ломаной линией, и такой график называется полигоном распределения.

При р = 0,5, как показано на рисунке 9, полигон симметричен относительно прямой x=np (если p близко к 0,5, то полигон близок к симметричному)

При малых p полигон существенно асимметричен, и наивероятнейшими являются частоты, близкие к нулю. На рисунке 10 изображен полигон распределения для p=0,2 при числе испытаний n, равном 6.

При больших p, близких к 1, наиболее вероятны максимальные значения. На рисунке 11 показан полигон распределения, для p = 0,8 и n = 6.

О других свойствах бернуллиевского распределения будет говориться позже.

Асимптотические формулы для формулы Бернулли.

В практических задачах часто приходится вычислять вероятности различных событий, связанных с числом успехов в n испытаниях при больших значениях n. В этих случаях вычисления по формуле по формуле Бернулли становятся затруднительными. Трудности возрастают, когда приходится суммировать вероятности . К суммированию сводится вычисление вероятностей событий вида k £ x£ l, как, например, в такой задаче:

Проводится 70 испытаний по схеме Бернулли с вероятностью появления события А в одном испытании, равной 0,4. Найти вероятность того, что событие А произойдет от 25 до 35 раз, то есть найти Pn(25£ x £ 35).

В отдельных случаях при больших n удается заменить формулу Бернулли приближенными формулами. Такие формулы, которые получаются при условии, п ®µ называются асимптотическими.

Если n достаточно велико, а p – величина очень малая, причём произведение np – тоже малая величина, для формулы Бернулли имеет место приближенная (асимптотическая) формула

Заметим, что вычислений можно использовать стандартную функцию Excel. Для этого нужно среди статистических функций выделить функцию НОРМРАСП, задать значение аргумента (t = b или t = a), положить среднюю равной 0, стандартное отклонение равным 1, а в строку “интегральный” ввести 1. После этого будет вычислено значение функции Лапласа F*(t)

 

Искомая вероятность будет равна F*(b) – F*(a).

Задача. Игральную кость бросают 800 раз. Какова вероятность того, что число очков, кратное 3, выпадает не менее 280 и не более 294 раз?

4. Самолёты авиакомпаний А и В одновременно вылетают в одном направлении. На эти рейсы рассчитывают 400 пассажиров, причём каждый выбирает любую из этих авиакомпаний независимо один от другого с вероятностью 0,5. Самолёт авиакомпании А имеет 230 посадочных мест. С какой вероятностью авиакомпания А не сможет удовлетворить всех заказов на билеты?

5. В баскетбольной команде процент реализации штрафных бросков равен 60. Найдите вероятность того, что из 100 бросков от 70 до 80 бросков будут успешными.

6. С вероятностью 0,65 орудие при выстреле поражает цель. Произведено 400 выстрелов;

а) найти вероятность того, что при этом произошло не менее 200 и не более 250 попаданий;

б) найти вероятность того, что число попаданий не меньше 265;

в) найти вероятность того, что число попаданий не больше 240.

Теория вероятностей - специальный раздел курса высшей математики, занимающийся изучением математических закономерностей массовых однородных случайных явлений. Следу-ет особо подчеркнуть, что методы теории вероятностей по самой своей природе не дают возможности предска-зать исход отдельного случайного явления, но дают возможность предсказать средний суммарный резуль-тат массы однородных случайных явлений.
Задачи статистической проверки гипотез