Задачи для самостоятельного решения

Методы математической статистики

Распределение Стьюдента.

Многие задачи статистики приводят к случайной величине вида

,

где x и h – независимые случайные величины, причем x – нормально распределенная случайная величина с параметрами Mx = 0 и Dx = 1, а h распределена по закону c2 c k степенями свободы.

Закон распределения случайной величины t называется законом распределения Стьюдента с k степенями свободы.

График плотности распределения для закона Стьюдента схематически изображен на рисунке 3. Кривая плотности распре­деления схожа с аналогичной кривой для нормального распределения.

Таблицы распределения Стьюдента позволяют при данном числе степеней свободы k по вероятности q определить значение tq, для которого выполняется соотношение P(|t| > tq) = q. Фрагмент такой таблицы представляет собой таблица 2.

 q

k

0,1

0,05

...

0,01

0,005

...

1

6,314

12,71

...

63,57

318

...

...

...

...

...

...

...

...

12

1,782

2,179

...

3,055

3,428

...

...

...

...

...

...

...

...

Таблица 2

Задача. Найти симметричный интервал, в который случайная величина, распределенная по закону Стьюдента с 12-ю степенями свободы, попадает вероятностью 0,9.

Решение. Очевидны соотношения:

P(–x < t < x) = P(|t| < x) = 1 – P(|t| ³ x) = 0,9.

Из последнего равенства следует:

P(|t| ³ x) = 0,1 , (n = 12).

Определяем из таблицы: x = 1,782. Нестрогое неравенство в скобках в левой части последней формулы нас не должно смущать, так как мы имеем дело с непрерывной случайной величиной, и вероятность того, что она примет конкретное значение, равна нулю.

Задача. Найти значение x из условия P(t > x) = 0,995 , где t – случайная величина, распределенная по закону Стьюдента с 12-ю степенями свободы.

Решение. На рисунке 4 изображен график плотности распределения Стьюдента с 12-ю степенями свободы. Вероятность того, что случайная величина примет значение из области справа от точки x1 равна 0,995 , следовательно в область левее этой точки случайная величина попадает с вероятностью 0,005. Чтобы найти x1, рассмотрим две симметричные области, изображенные на рисунке 5. Допустим, что в каждой из этих областей значение случайной величины оказывается с вероятностью 0,005. Тогда получаем: x1= – x, x2 = x, причем x определяется из условия P(|t| > x) = 0,01. Из таблицы 2 находим: x = 3,055. Теперь можно выписать ответ задачи:

 P(t > –3,055) = 0,995.

Распределение Фишера.

Важные приложения имеет в статистике случайная величина

,

где x – случайная величина, распределенная по закону c2 с k1 степенями свободы, а h – случайная величина, распределенная по закону c2 с k2 степенями свободы, причём x и h –независимые случайные величины.

Случайная величина F распределена по закону, называемому законом распределения Фишера с k1 и k2 степенями свободы. При заданных числах k1 и k2 и по вероятности q по таблице определяется значение Fq такое, что

Математическая статистика.

Основной задачей математической статистики является разработка методов получения научно обоснованных выводов о массовых явлениях и процессах из данных наблюдений и экспериментов. Эти выводы и заключения относятся не к отдельным испытаниям, из повторения которых складывается данное массовое явление, а представляют собой утверждения об общих вероятностных характеристиках данного процесса, то есть о вероятностях, законах распределения, математических ожиданиях, дисперсиях и т. д. Такое использование фактических данных как раз и является отличительной чертой статистического метода.

Выборки различаются по способу отбора.

1. Простой случайный отбор.

Все элементы генеральной совокупности нумеруются и из таблицы случайных чисел берут, например, последовательность любых 30-ти идущих подряд чисел. Элементы с выпавшими номерами и входят в выборку.

2. Типический отбор.

Такой отбор производится в том случае, если генеральную совокупность можно представить в виде объединения подмножеств, объекты которых однородны по какому–то признаку, хотя вся совокупность такой однородности не имеет (партия товара состоит из нескольких групп, произведенных на разных предприятиях). Тогда по каждому подмножеству проводят простой случайный отбор, и в выборку объединяются все полученные объекты.

Математическая статистика, используя специальный математический аппарат регрессионного и корре-ляционного анализа, помогает установить форму зависимости результативного признака от параметров и оце-нить степень их важности и взаимосвязи. Крайними (предельными) случаями в этом плане являются некорре-лированные (несвязанные) и функционально связанные величины.
Классическое определение вероятности