Задачи для самостоятельного решения tut-zdorovo.ru

Методы математической статистики

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины x определяется равенством

 

в предположении, что интеграл существует (сходится). Здесь сохраняется смысл математического ожидания как среднего значения случайной величины.

Все свойства математического ожидания, приведённые ранее для дискретных случайных величин, имеют место и для непрерывных случайных величин.

Отметим два важных свойства математического ожидания непрерывных случайных величин.

Если плотность распределения р(х) случайной величины x – чётная функция, то Мx = 0.

Доказательство.

 

Теперь в первом из двух интегралов в правой части равенства сделаем замену t = –x:

 

Окончательно получаем

 .

Если ось симметрии графика плотности распределения р(х) случайной величины x проходит через точку х = n, то есть
р(–х +
n) = р(–х + n), то Мx = n.

Доказательство аналогично приведенному выше.

Очевидно, можно сформулировать аналогичные свойства математического ожидания для дискретных случайных величин.

Дисперсия непрерывной случайной величины x определяется равенством

 

 

Если плотность распределения случайной величины x определяется формулой

 , (1)

где а – произвольное число, а s – положительное число, то говорят, что x распределена по нормальному закону или что x “нормальная” случайная величина.

Значения а и s полностью определяют функцию р(х). Для неё иногда вводится обозначение: p(x) = n(x;a;s).

График плотности распределения нормальной случайной величины при некоторых значениях а и s представлен на рисунке 6.

Правило 3-х s (трех “сигм”).

Пусть имеется нормально распределённая случайная величина x с математическим ожиданием, равным а и дисперсией s2. Определим веро­ятность попадания x в интервал (а – 3s; а + 3s), то есть вероятность того, что x принимает значения, отличающиеся от математического ожидания не более, чем на три среднеквадратических отклонения.

P(а – 3sx < а + 3s)=Ф(3) – Ф(–3)=2Ф(3)

По таблице находим Ф(3)=0,49865, откуда следует, что 2Ф(3) практи­чески равняется единице. Таким образом, можно сделать важный вывод: нормальная случайная величина принимает значения, отклоняющиеся от ее математического ожидания не более чем на 3s.

Отметим два важных свойства математического ожидания непрерывных случайных величин.

Дисперсия непрерывной случайной величины имеет те же свойства, что и дисперсия дискретной случайной величины. Величина  называется среднеквадратическим отклонением.

Подпись: Рис. 4Если график плотности распределения случайной величины x имеет единственный ярко выраженный пик в точке х = n, как на рисунке 4, то это означает, что x принимает с большой вероятностью значения из малого промежутка около х = n (или, иначе, возможные значения x тесно скон­центрированы около числа n). Такая случайная величина имеет относительно малую дисперсию.

Совместное распределение двух случайных величин.

Пусть пространство элементарных исходов W случайного эксперимента таково, что каждому исходу wij ставиться в соответствие значение случайной величины x, равное xi и значение случайной величины h, равное yj.

1. Представим себе большую совокупность деталей, имеющих вид стержня. Эксперимент заключается в случайном выборе одного стержня. Этот стержень имеет длину, которую будем обозначать x и толщину—h (можно указать другие параметры—объем, вес, чистота обработки, выраженная в стандартных единицах).

Аналогичные условные законы распределения случайной величины x можно построить при всех остальных значениях h, равных y2; y3,¼, yn ,ставя в соответствие числу xi условную вероятность pi/j = ().

В таблице приведён условный закон распределения случайной величины x при h=yj

x

x1

x2

¼

xi

¼

xn

pi/j

¼

¼

Можно ввести понятие условного математического ожидания x при h = yj

Полигоны условных распределений можно изобразить на трехмерном графике (рис. 1).

Здесь явно просматри­вается зависимость услов­ного закона распределения x от величины h.

Пример II. (Уже встре­чавшийся).

Пусть даны две неза­висимые случайные вели­чины x и h с законами распределения

x

0

1

h

1

2

Р

1/3

2/3

Р

3/4

1/4

Найдем законы распределений случайных величин a=x+h и b=x*h

Эту формулу можно интерпретировать так. Если при больших значениях x более вероятны большие значения h, а при малых значениях x более вероятны малые значения h, то в правой части формулы (2) положительные слагаемые доминируют, и ковариация принимает положительные значения.

Если же более вероятны произведения (xi – Mx)(yj – Mh), состоящие из сомножителей разного знака, то есть исходы случайного эксперимента, приводящие к большим значениям x в основном приводят к малым значениям h и наоборот, то ковариация принимает большие по модулю отрицательные значения.

В первом случае принято говорить о прямой связи: с ростом x случайная величина h имеет тенденцию к возрастанию.

Во втором случае говорят об обратной связи: с ростом x случайная величина h имеет тенденцию к уменьшению или падению.

Еще одним важным структурным компонентом ТВ являются случайные величины. Случайные величины ха-рактеризуются законами распределения, которые связывают значение случайной величины с ее вероятностью. Это позволяет установить закономерности изменения случайных величин в различных типовых ситуациях. Та-кие закономерности отображают функция распределения вероятности случайной величины и плотность вероятности случайной величины. Примером такой закономерности является так называемый нормальный закон распределения случайных величин (закон Гаусса).
Классическое определение вероятности