Задачи для самостоятельного решения

Методы математической статистики

Свойства математического ожидания.

Если случайная величина x принимает одно и то же значение при всех исходах случайного эксперимента, то есть x º С, то её математическое ожидание равно С.

Если Мx = а, и k – константа, то М(kx) = kа (математическое ожидание случайной величины, умноженной на число, равно математическому ожиданию случайной величины, умноженному на это число).

Если Мx = а, и k – константа, то М(k + x) = k + а (математическое ожидание суммы случайной величины и числа равно сумме этого числа и математического ожидания случайной величины).

Выведем формулу для математического ожидания суммы двух случайных величин x и h, определённых на одном и том же пространстве элементарных исходов и заданных законами распределения

x

х1

¼

xn

h

y1

¼

yk

Р

¼

Р

¼

М(x + h) = (х1 + у1)Р((x = х1)  (h = у1))+ (х2 + у1)Р((x = х2)  (h = у1)) +¼
+(хi + уj)Р((
x = хi)  (h = уj)) + ¼ + (хn + уk)Р((x = хn)  (h = уk))

Очевидно, что сумма в правой части последней формулы содержит nk слагаемых. Преобразуем эту сумму следующим образом:

М(x + h) = х1 Р((x=х1)(h=у1)) + х1 Р((x=х1)(h=у2)) +¼+х1 Р((x=х1)(h=уk)) + + х2Р((x=х2)(h=у1)) + х2Р((x=х2)(h=у2)) +¼ + х2Р((x=х2)(h=уk)) + ¼

+ хnР((x=хn)(h=у1)) + хnР((x=хn)(h=у2)) +¼ + хnР((x=хn)(h=уk)) + 

+ у1Р((x=х1)(h=у1)) + у1Р((x=х2)(h=у1)) +¼ + у1Р((x=хn)(h=у1)) +

+ у2Р((x=х1)(h=у2)) + у2Р((x=х2)(h=у2)) +¼ + у2Р((x=хn)(h=у2)) + ¼

+ уkР((x=х1)(h=уk)) + уkР((x=х2)(h=уk)) +¼ + уkР((x=хn)(h=уk)) =

= х1(Р((x=х1)(h=у1)) + Р((x=х1)(h=у2)) +¼ + Р((x=х1)(h=уk))) +

+ х2(Р((x=х2)(h=у1)) + Р((x=х2)(h=у2)) +¼ + Р((x=х2)(h=уk))) +¼ +

+ хn(Р((x=хn)(h=у1)) + Р((x=хn)(h=у2)) +¼ + Р((x=хn)(h=уk))) +

+ у1(Р((x=х1)(h=у1)) + Р((x=х2)(h=у1)) +¼ + Р((x=хn)(h=у1))) +

+ у2(Р((x=х1)(h=у2)) + Р((x=х2)(h=у2)) +¼ + Р((x=хn)(h=у2))) + ¼

+ уk(Р((x=х1)(h=уk)) + Р((x=х2)(h=уk)) +¼ + Р((x=хn)(h=уk))) =

= х1Р(x=х1) + х2Р(x=х2) +¼+ хn Р(x=хn) +

+ у1Р(h=у1) + у2Р(h=у2) +¼+ у1Р(h=у1) = Mx + Mh

При выводе этой формулы использован очевидный факт, что, например, событие x=х1 можно представить в виде объединения несовместных событий (x=х1)(h=у1), (x=х1)(h=у2), ¼, (x=х1)(h=уn).

Пример.

Заданы n одинаково распределённых случайных величин x1, x2, ¼, xn с законом распределения

Таблица 1

xi

1

0

P

p

q

Найти математическое ожидание суммы этих случайных величин.

Решение.

 M() = = np

Если случайные величины x и h независимы, то

 М(xh) = Мx×Мh

Доказательство.

Если заданы законы распределения двух независимых случайных величин x и h

x

х1

¼

xi

¼

xn

h

y1

¼

yj

¼

yk

Р

¼

¼

Р

¼

¼

то математическое ожидание произведения этих случайных величин можно представить следующим образом:

 М(xh) =  =

 = х1+х2+¼+ хi¼+ хn =

 = х1Mh + х2Mh + ¼+ хiMh¼+ хnMh = Mh= Мx×Мh

Дисперсия случайной величины.

Дисперсия Dx случайной величины x определяется формулой

  Dx = M(x – Mx)2.

Дисперсия случайной величины — это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.

Рассмотрим случайную величину x с законом распределения

Свойства дисперсии.

Если с – число, то D(x + с) = D(x)

Если k – число, то D(kx) = k2 Dx.

Доказательство.

D(kx) = M(kx – M(kx))2 = M(kx – k Mx)2 = M(k2 (x – Mx)2) = k2M(x – Mx)2 =

 = k2 Dx

Для попарно независимых случайных величин x1, x2,¼, xn справедливо равенство

 

Это свойство оставим без доказательства. Из этого свойства, в частности, следует, что дисперсия суммы n независимых случайных величин xi с законом распределения, заданным таблицей 1, равна npq. Теперь можно сделать важный вывод. Пусть проводится п повторных независимых испытаний, в каждом из которых событие А происходит с вероятностью р. Число k появлений события А можно рассматривать как случайную величину. Обозначим эту случайную величину x. Как уже говорилось ранее, эта случайная величина называется бернуллиевской случайной величиной. Несложно понять, что имеет место

Непрерывные случайные величины.

Случайная величина, значения которой заполняют некоторый промежуток, называется непрерывной.

В частных случаях это может быть не один промежуток, а объединение нескольких промежутков. Промежутки могут быть конечными, полу­бесконечными или бесконечными, например: (a; b], (–µ ; a), [b;µ), (–µ; µ).

Вообще непрерывная случайная величина – это абстракция. Снаряд, выпущенный из пушки, может пролететь любое расстояние, скажем, от 5 до 5,3 километров, но никому не придёт в голову измерять эту величину с точностью до 0,0000001 километра (то есть до миллиметра), не говоря уже об абсолютной точности. В практике такое расстояние будет дискретной случайной величиной, у которой одно значение от другого отличается по крайней мере на 1 метр.

Последнее свойство называется свойством нормировки. Можно задавать случайную величину, задавая функцию р(х), удовлетворяющую этим условиям.

В качестве примера рассмотрим случайную величину x, равномерно распределённую на промежутке [a; b]. В этом случае р(х) постоянна внутри этого промежутка:

 

По свойству 2) функции р(х)

 

Подпись: Рис. 2Отсюда . График функции р(х) представлен на рисунке 2.

Во многих практических задачах встречаются случайные величины, у которых возможные значения не ограничены сверху и снизу. В этом случае кривая распределения располагается над осью х и при х ® ¥ и х ® – ¥ асимптотически приближается к этой оси, как изображено на рисунке 1. Вероятность того, что случайная величина x примет значение, меньшее некоторого числа а, равна площади фигуры, заключённой между кривой распределения и горизонтальной координатной осью слева от точки а. Будем считать, что такая площадь существует.

Пусть x – непрерывная случайная величина. Функция F(x), которая определяется равенством

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины x определяется равенством

 

в предположении, что интеграл существует (сходится). Здесь сохраняется смысл математического ожидания как среднего значения случайной величины.

Все свойства математического ожидания, приведённые ранее для дискретных случайных величин, имеют место и для непрерывных случайных величин.

Математическая статистика - наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для осуществления научно обоснованных прогнозов и практических рекомендаций.
Классическое определение вероятности