Задачи для самостоятельного решения

Методы математической статистики

Комбинаторные формулы

Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Обозначим его . Перестановкой из n элементов называется заданный порядок во множестве .

Примеры перестановок:

1)распределение n различных должностей среди n человек;

2)расположение n различных предметов в одном ряду.

Сколько различных перестановок можно образовать во множестве ? Число перестановок обозначается Pn (читается “Р из n”).

Чтобы вывести формулу числа перестановок, представим себе n ячеек, пронумерованных числами 1,2,...n. Все перестановки будем образовывать, располагая элементы Un в этих ячейках. В первую ячейку можно занести любой из n элементов (иначе: первую ячейку можно заполнить n различными способами). Заполнив первую ячейку, можно найти n–1 вариантов заполнения второй ячейки. Таким образом, существует n(n–1) вариантов заполнения двух первых ячеек. При заполнении первых двух ячеек можно найти n–2 варианта заполнения третьей ячейки, откуда получается, что три ячейки можно заполнить n(n-1)(n-2) способами. Продолжая этот процесс, получим, что число способов заполнения n ячеек равно . Отсюда

                Pn = n(n – 1)(n – 2)...×3×2×1

Число n(n – 1)(n – 2)...×3×2×1, то есть произведение всех натуральных чисел от 1 до n, называется "n-факториал" и обозначается n! Отсюда Pn =n!

По определению считается: 1!=1; 0!=1.

Пример. Сколько существует вариантов замещения 5-ти различных вакантных должностей 5-ю кандидатами?

                 .

Размещениями из n элементов по k элементов будем называть упорядоченные подмножества, состоящие из k элементов множества   (множества, состоящего из n элементов). Число размещений из n элементов по k элементов обозначается  (читается "А из n по k").

Одно размещение из n элементов по k элементов может отличаться от другого как набором элементов, так и порядком их расположения.

Примеры задач, приводящих к необходимости подсчета числа размещений

1) Сколькими способами можно выбрать из 15 человек 5 кандидатов и назначить их на 5 различных должностей?

2) Сколькими способами можно из 20 книг отобрать 12 и расставить их в ряд на полке?

В задачах о размещениях полагается k < n. В случае, если k = n, то легко получить

Для подсчета  используем тот же метод, что использовался для подсчета Pn, только здесь возьмем лишь k ячеек. Первую ячейку можно заполнить n способами, вторую, при заполненной первой, можно заполнить n–1 способами. Таким образом, существует п(п – 1) вариантов заполнения первых двух ячеек. Можно продолжать этот процесс до заполнения последней k–й ячейки. Эту ячейку при заполненных первых k – 1 ячейках можно заполнить
 n–(k–1) (или n–k+1) способами. Таким образом, все k ячеек заполняются числом способов, равным

               

Отсюда получаем:

Пример. Сколько существует различных вариантов выбора 4-х кандидатур из 9-ти специалистов для поездки в 4 различных страны?

               

Примеры перестановок:

1)распределение n различных должностей среди n человек;

2)расположение n различных предметов в одном ряду.

Сочетаниями из n элементов по k элементов называются подмножества, состоящие из k элементов множества  (множества, состоящего из n элементов).

Одно сочетание от другого отличается только составом выбранных элементов (но не порядком их расположения, как у размещений).

Число сочетаний из n элементов по k элементов обозначается   (читается "C из n по k").

Примеры задач, приводящих к подсчету числа сочетаний:

1) Сколько существует вариантов выбора 6-ти человек из 15 кандидатов для назначения на работу в одинаковых должностях?

2) Сколькими способами можно из 20 книг отобрать 12 книг?

Задачи на подсчет числа подмножеств конечного множества называются комбинаторными. Рассмотрим некоторые комбинаторные задачи.

1.Из семи заводов организация должна выбрать три для размещения трех различных заказов. Сколькими способами можно разместить заказы?

Так как из условия ясно, что каждый завод может либо получить один заказ, либо не получить ни одного, и что выбрав три завода, можно по-разному разместить среди них заказы, здесь нужно считать число размещений

Можно выделить два типа моделей описания объектов окружающего мира (в частности, экономиче-ских). Детерминированные модели предполагают жесткие функциональные связи между переменными моде-ли (Пример - при равноускоренном движении тела из состояния покоя пройденный путь пропорционален квад-рату времени движения, или спрос обратно пропорционален цене товара). Стохастические допускают наличие случайных воздействий на исследуемые показатели и используют для их описания методы теории вероятностей и математической статистики.
Классическое определение вероятности