Начертательная геометрия Примеры выполнения заданий

Традициями эпохи Возрождения
Карта Западной Европы
Лоренцо Бернини
Микеланджело да Караваджо
Призвание апостола Матфея
Обращение Савла
Положение во гроб
Успении Богоматери
Эль Греко

Погребение графа Оргаса

Портрет аристократа
Апостолы Пётр и Павел
Сошествии Святого Духа
Вид Толедо
Диего Веласкес
Менины
Пряхи
Венера перед зеркалом
Сдача Бреды
Аристократические портреты
«Завтрак» и серия «Шуты и карлики
Хусепе Рибера

Исаак, благословляющий Иакова

Хромоножка
Святая Инесса
Нищие философы
Мученичество Святого Варфоломея
Питер Пауэл Рубенс

Жимолостная беседка

Кермесса
Серии картин «Жизнь Марии Медичи»
Портрет камеристки инфанты Изабеллы
Елена Фоурмен и «Шубка»
Возчики камней
Автопортрет
Портрет Изабеллы Брандт
Большое количество заказов
Охота на гиппопотамов и крокодилов
«Похищение дочерей Левкиппа» и «Битва греков с амазонками»
Водружение креста
Рембрандт Ван Рейн

«Анатомия доктора Тулпа»

«Возвращение блудного сына»
«Еврейская невеста»
«Автопортрет»
«Старик в красном» и «Портрет Титуса»
«Портрет Хендрикьё Стоффелс»
«Заговор Юлия Цивилиса»
«Три дерева»
«Выступление стрелковой роты капитана Франса Баннинга Кока»
«Даная»
«Автопортрет с Саскией на коленях»
«Портрет Яна Сикса»
Никола Пуссен и живопись
Классицизма

«Царство Флоры»

«Пейзаж с Полифемом»
«Аркадские пастухи»
«Танкред и Эрминия»
Искусство Европы XVIII века
Художественная жизнь Европы
Архитектура XVIII столетия
Рококо
Малый Трианон
Церквь Святой Женевьевы
Эпоха неоклассицизма
Клод Никола Леду
Жан Батист Пигаль
Галантные празднества
Парижский Лувр
Фарфоровые изделия
Филиппе Ювара
Методы математической
статистики
Искусство России XVIII века
Архитектурные проекты
Москвы 20 годов
Архитектурная история Москвы
Советы для радиолюбителя
Авангардное искусство
Ядерные испытания на
архипелаге Новая Земля
Безопасность в
компьютерных сетях
Аппаратное обеспечение
компьютера
Установка системы
Microsoft Windows 2003
Вычисление производной
и пределов
Вычисление площадей в
декартовых координатах
Вычисление площадей фигур
при параметрическом задании
границы
Вычисление объема тела,
вычисление длин дуг
Векторная и линейная алгебра
Монтаж радиоэлементов
и микросхем

Практика выполнения технических чертежей

Длина изображения отрезка, параллельного плоскости проекций, равна длине самого отрезка

Комплексный чертеж на примере изображения точки Геометрический аппарат проецирования и метод Г. Монжа получения обратимых изображений Комплексный чертеж точки

Законы проекционной связи на комплексном чертеже

На комплексном чертеже – произвольная точка . Задать точку   правее точки  на 20 мм, ближе ее на 10 мм и выше – на 15 мм.

На линии связи  отметить разницу  и через полученную точку под прямым углом провести линию связи для последующего построения на ней проекций и .

Способы задания геометрических фигур. Два способа задания геометрических фигур: кинематический и статический. Кинематический способ основан на перемещении в пространстве точки или образующей линии по определенному закону. Закон перемещения задается направляющими элементами: точками, линиями или плоскостями. Совокупность образующей и направляющих называется определителем геометрической фигуры.

Основные геометрические фигуры

Другая разновидность геометрических фигур частного положения – проецирующие прямые и плоскости: горизонтально проецирующие, фронтально проецирующие и профильно проецирующие

Кривая линия общего вида Ограничимся кривыми линиями общего вида. Под которыми следует понимать плоские и пространственные кривые, не имеющие определенно выраженного закона образования. Для задания таких линий требуется: теоретически бесконечное, а практически – разумное конечное число точек.

Поверхность вращения образуется вращением линии вокруг неподвижной оси

Взаимопринадлежность геометрических фигур Общие понятия взаимопринадлежности Элементарная (основная) задача на принадлежность, без которой бесполезно пытаться решать любую задачу на ту же тему, - это задача на принадлежность точки к плоскости или к любой криволинейной поверхности

Точка на линии Положение о том, что точка на прямой проецируется в точку на проекции этой прямой (одно из инвариантных свойств проецирования) справедливо и для кривой линии.

Прямая и точка на плоскости

Точка и линия на поверхности.

При построении линии на поверхности следует учитывать, что полностью или частично она может быть невидимой. Для наглядности и для удобства обводки чертежа невидимые проекции рекомендуется изображать в виде крестика. Должна соблюдаться и последовательность решения задачи

Пересечение геометрических фигур Пересечь геометрические фигуры – значит определить их общие точки и линии. И грамотно обвести чертеж с учетом видимости. Для этого совершенно необходимо хорошее усвоение пройденных тем таких, как принадлежность, особенности вырожденных проекций и видимость конкурирующих точек.

В рассмотренных примерах определение видимости можно определять без привлечения конкурирующих точек. Достаточно сопоставить положение вырожденной проекции относительно проекции второй фигуры и (условно) проекции наблюдателя

Пример. Построить сечение пирамиды

Пересечение геометрических фигур с привлечением посредников Сложнее решаются задачи на пересечение геометрических фигур, если ни одна из них не является проецирующей. В таких случаях трудно обойтись без привлечения третьих участников пересечения – так называемых посредников

Метод проецирующих секущих плоскостей

Пример . Построить линию пересечения плоскостей

Пример. Построить линию пересечения закрытого тора и полусферы

Метод концентрических сфер применяется для пересечения поверхностей вращения, у которых общая плоскость симметрии параллельна плоскости проекций. В этом случае сфера с центром в точке пересечения осей вращения соосна с поверхностями и пересекает их по окружностям.

Частный случай теоремы Г.Монжа Если две поверхности вращения 2-го порядка(конусы и цилиндры)описаны вокруг общей сферы, то они пересекаются по двум линиям того же порядка. Это могут быть эллипсы или параболы. Плоскости которые пересекаются по прямой, проходящей через точки пересечения линий касания сферы с заданными поверхностями.

Преобразование комплексного чертежа и способ прямоугольного треугольника

При построении новой проекции точки действует следующий закон проекционной связи. Расстояние от новой оси проекций до новой проекции точки равно расстоянию от старой оси до старой проекции.

Способ вращения вокруг проецирующей прямой В процессе вращения геометрической фигуры каждая ее точка описывает в пространстве окружность, плоскость которой перпендикулярна к оси вращения, а центр – в точке пересечения оси и этой плоскости

Способ прямоугольного треугольника

Параллельность прямых и плоскостейПрямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой этой плоскости.

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Линия наибольшего наклонана плоскости

Классификация метрических задач (определение углов и расстояний) Решения метрических задач основаны на применении практически всех предыдущих разделов курса начертательной геометрии. Включая прежде всего взаимопринадлежность и пересечение геометрических фигур, параллельность и перпендикулярность и способы преобразования комплексного чертежа.

Решить предыдущую задачу способом замены плоскостей проекций

Стандартная ортогональная аксонометрия Аксонометрия – это изображение предмета на плоскости общего положения П’ в системе аксонометрических осей проекций .

Окружность в аксонометрии Окружность в плоскости уровня проецируется на аксонометрическую плоскость проекций в виде эллипса. При построении такой проекции необходимо учитывать направление большой оси эллипса, ее размеры и размеры малой оси.

Чертежи

Метод центрального проецирования

Проецирование точки на две и три плоскости проекций Если поместить точку А, находящуюся в пространстве, относительно двух плоскостей проекций П, и П2, опустив из нее перпендикуляры на эти плоскости, получают точки А, и А2, которые являются ортогональными проекциями точки А относительно плоскостей проекций П1, и П2. Они характеризуются координатами, которые числен но равны расстоянию от точки А до соответствующих плоскостей

Определение по плоскому чертежу принадлежности точки тому или другому октанту пространства

Задание прямой в пространстве Прямая параллельна двум плоскостям проекций, т.е. перпендикулярна к третьей плоскости проекций.

Все точки прямой имеют две постоянные координаты х, у или z. На одну из плоскостей проекций прямая проецируется в точку. Такую прямую называют проецирующей прямой

Следом прямой называется точка пересечения прямой с плоскостью проекции. Горизонтальным следом прямой называют точку пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций

Взаимное положение прямых в пространстве Две прямые в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися или скрещивающимися. Если две прямые параллельны, то их одноименные проекции взаимно параллельны

Задание плоскости Плоскость задается тремя произвольными точками, не принадлежащими одной прямой

Положение плоскости относительно плоскостей проекций Любая, произвольно взятая в пространстве, плоскость может занимать общее или частное положение. Плоскостью общего положения называется плоскость, которая не перпендикулярна ни к одной из плоскостей проекций

Замена плоскостей проекций

Признаки принадлежности точки и прямой плоскости Для определения принадлежности точки и прямой плоскости, расположенной в пространстве, следует руководствоваться следующими положениями

Взаимное положение двух плоскостей Две произвольные плоскости в пространстве по отношению друг к другу могут занимать два положения: плоскости пересекаются, при этом линия их пересечения всегда прямая; плоскости параллельны друг другу.

Определение взаимного положения прямой линии и плоскости Прямая линия и плоскость в пространстве относительно друг друга могут занимать следующие положения: прямая линия параллельна плоскости (частный случай — прямая лежит в плоскости); прямая линия пересекается с плоскостью (частный случай —прямая перпендикулярна к плоскости).

Задание: найти точку пересечения проецирующей прямой т с плоскостью (АВС)

Прямая линия, перпендикулярная к плоскости

Примеры решения задач Задание: опустить перпендикуляр из точки А на плоскость  () и найти его основание точку В.

Вращение вокруг проецирующей оси

Метод плоскопараллельного перемещения Применение метода вращения вокруг проецирующей оси при преобразовании нередко приводит к наложению на исходную новых проекций. При этом чтение чертежа представляет определенные сложности. Избавиться от указанного недостатка позволяет метод плоскопараллельного перемещения проекций фигуры

Метод вращения вокруг линии уровня Суть метода заключается в том, что осью вращения выбирается одна из линий уровня - горизонталь или фронталь плоскости или плоской фигуры. Таким образом, плоскость как бы поворачивается вокруг некоторой оси, принадлежащей этой плоскости, до положения, при которой эта плоскость становится параллельной одной из плоскостей проекций.

Метод совмещения плоскостей Этот метод является частным случаем метода вращения вокруг линии уровня. В качестве оси вращения выбирается линия пересечения плоскости, в которой лежит та или иная фигура, с одной из плоскостей проекций. Иначе говоря, осью вращения служит горизонтальный или фронтальный след плоскости

Задание: определить натуральную величину треугольника общего положения ABC, заданного проекциями вершин A1 B1 C1 и А2В2С2, а также угол наклона плоскости треугольника к П1.

Решение  методом плоскопараллельного перемещения Задача решается в два этапа. На первом этапе преобразовывают чертеж так, чтобы плоскость треугольника ABC стала перпендикулярна к одной из плоскостей проекций, т.е. должна в себе содержать прямую, перпендикулярную к этой плоскости.

Решение методом вращения вокруг линии уровня

Для решения задачи методом совмещения необходимо построить следы плоскости , которой принадлежит треугольник ABC. Для этого проводят в плоскости треугольника ABC фронталь  и находят горизонтальный след этой фронтали – N1.

Сечение многогранников плоскостью

Задание: определить сечение трёхгранной призмы плоскостью P(P1P2). Построить полную развёртку поверхности призмы и нанести на ней линию сечения.

Поверхность вращения общего вида образуется вращательным перемещением образующей линии вокруг неподвижной оси. Каждая точка образующей линии при вращении вокруг неподвижной оси описывает окружность с центром на оси вращения. Эти окружности называются параллелями.

Условные развертки Неразвертывающиеся поверхности не могут быть совмещены с плоскостью без разрывов и складок, т.е. теоретически они не имеют своей развертки. Поэтому говорят лишь об условном решении задачи по построению разверток неразвертывающихся поверхностей.

Задание: построить проекции и натуральную величину фигуры сечения поверхности конуса плоскостью Р

Задание: построить проекции фигурысечения сферы плоскостью Р . Решение: плоскость Р является фронтально проецирующей. На фронтальную плоскость проекций окружность (фигура сечения) проецируется в виде отрезка прямой, на горизонтальную - в виде эллипса.

Пересечение прямой линии с поверхностью

Задание: определить точки пересечения прямой т с поверхностью прямого кругового цилиндра

Перевод секущей прямой в частное положение При пересечении поверхности сферы плоскостью в сечении получается окружность, которая проецируется на плоскости проекции в виде эллипсов или прямой и эллипса (если секущая плоскость - проецирующая).

Построение линии пересечения поверхностей Предложенные в настоящей работе задания охватывают задачи не на все методы построения линий пересечения поверхностей, а только наиболее распространенные.

Метод вспомогательных секущих плоскостей Этот метод применяется для построения линии пересечения двух поверхностей, когда секущие (параллельные) плоскости при пересечении с данными поверхностями образуют простые линии (прямую или окружность).

Метод эксцентрических сфер применяется для построения линии пересечении поверхностей вращения, у которых оси расположены в одной плоскости, являющейся плоскостью симметрии. При этом пересекающиеся поверхности должны иметь семейство круговых сечений.

Изображение предметов Приёмы изображения предметов изучаются в курсе начертательной геометрии, и предполагается, что студент уже имеет необходимые навыки построения изображений. Поэтому основное внимание следует обратить на правила и условности, установленные ГОСТами ЕСКД.

Виды

Дополнительный вид – изображение на плоскости, не параллельной ни одной из основных плоскостей проекций, применяется, если какая-либо часть предмета не может быть показана без искажения формы и размеров ни на одном из основных видов.

Выносной элемент – дополнительное отдельное изображение какой-либо части предмета, требующей пояснений в отношении формы, размеров и иных данных.

Классификация разрезов В зависимости от положения секущей плоскости относительно горизонтальной плоскости проекций разрезы подразделяются на горизонтальные, вертикальные и наклонные.

Соединение части вида и части разреза Согласно ГОСТ 2.305-68 допускается соединять на одном изображении часть вида и часть соответствующего разреза, разделяя их сплошной волнистой линией, когда каждый из них является несимметричной фигурой

Обозначение разрезов

Расположение сечений В зависимости от расположения сечения, не входящие в состав разреза, подразделяются на вынесенные и наложенные.

Построение проекций

Построение проекций точек, расположенных на различных поверхностях Умение находить на всех изображениях чертежа проекции отдельных точек необходимо для того, чтобы при выполнении чертежа правильно строить проекции отдельных элементов детали.

Правильная  треугольная призма Построение проекций призмы следует начинать с основания. Рёбра и грани призмы перпендикулярны плоскости П1, поэтому вид сверху представляет собой правильный треугольник, стороны которого являются горизонтальными проекциями боковых граней призмы, а вершины – горизонтальными проекциями её рёбер. Контурами главного вида (вида спереди) и вида слева являются прямоугольники

Конус  вращения На виде сверху конус изображается кругом, являющимся одновременно горизонтальной проекцией основания конуса и его боковой поверхности. Центр круга – горизонтальная проекция вершины конуса. Главный вид и вид слева – равнобедренные  треугольники.

Конус, сфера и тор Данные поверхности являются поверхностями вращения. Для построения проекций точек, принадлежащих таким поверхностям, целесообразно использовать проекции параллелей – окружностей, плоскости которых параллельны плоскостям проекций.

Аксонометрические проекции

Для построения аксонометрической проекции точки требуется определить длины звеньев её аксонометрической координатной ломаной. Для изометрической проекции длины звеньев этой ломаной равны длинам соответствующих звеньев натуральной координатной ломаной.

Последовательность выполнения изображений в аксонометрии

Задача. Построение  трёх изображений и аксонометрической проекции предмета по его описанию

ГОСТ 2.307-68 рекомендует: размерные линии и числа располагать предпочтительно вне контура изображения детали; не допускать пересечения выносных линий с размерными; не допускать использования линий контура, осевых, центровых и выносных в качестве  размерных.

Задача. Выполнение ломаного разреза Исходные данные: виды спереди и сверху какой-либо детали. На одном из видов заданы проекции секущих плоскостей А-А.

Задача. Выполнение ступенчатого разреза

Особенности  нанесения размеров на чертежах литых деталей рассматриваются при изучении  темы «Эскизирование и рабочие чертежи». На этом этапе изучения дисциплины достаточно придерживаться принципа нанесения размеров, показанного на исходном изображении.

Построение рабочего чертежа вала по аксонометрическому изображению